Есть 12 монет, одна из них фальшивая. Как при помощи весов с чашами найти её за 3 взвешивания?
Фальшивая монета может быть тяжелее или легче обычной - а тяжелее она или легче, надо установить в процессе поиска.
Мы платим до 300 руб за каждую тысячу уникальных поисковых переходов на Ваш вопрос или ответ Подробнее
| ЛУЧШИЙ ОТВЕТ ИЗ 2 |
Если не годится первый вариант от ответившего,то пойдём другим путём.
Пронумеруем монеты от 1 до 12. Разделим на группы по 4 монеты:
(I) 1 2 3 4 (II) 5 6 7 8 (III) 9 10 11 12
Взвесим группы I и II. Возможны три варианта: I < II, I > II, I = II.
Первые два варианта симметричны, о них ниже. В случае третьего варианта получаем, что фальшивая монета находится в группе III. Если так, вторым шагом взвесим монеты 9 и 10. Если, например, 9 < 10 (в случае 9 > 10 рассуждения аналогичны), то или 9 тяжелее, или 10 легче. Третьим шагом взвешиваем одну из них с заведомо настоящей и получаем ответ.
Если же 9 = 10, то фальшивая 11-я или 12-я. Взвесим 11-ю с заведомо настоящей, скажем, с 1-й. Если 1 < 11, то фальшивая 11, тяжелее. Если 1 > 11, то фальшивая 11, легче. Если 1 = 11, то фальшивая 12, легче или тяжелее неизвестно.
Рассмотрим теперь случай, когда при первом взвешивании I-я группа тяжелее II-й (случай II-я тяжелее I-й решается аналогично). В этом случае возможны варианты: а) 1 или 2 или 3 или 4 — тяжелее. б) 5 или 6 или 7 или 8 легче.
Разделим теперь монеты на группы по три монеты следующим образом: (1) две монеты из группы I, одна из группы II. (2) две оставшиеся монеты из группы I, одна из группы II. (3) две оставшиеся монеты из группы II, одна из группы III, заведомо настоящая. В нашем случае группы будут такими:
(1) 1 2 5
(2) 3 4 6
(3) 7 8 9
На втором шаге взвесим группы (1) и (2). Возможны варианты:
(*) (1) < (2). Это означает, что или одна из монет 1 и 2 тяжелее, или монета 6 легче.
(**) (1) > (2). Это означает, что или одна из монет 3 и 4 тяжелее, или монета 5 легче. Заметим, что этот вариант симметричен (*), отдельно рассматриваться не будет.
(1) = (2). Это означает, что монеты с 1 по 6 настоящие, и фальшивая — 7 или 8, причем по результатам первого этапа она легче. В этом случае третьим шагом просто взвесим 7 с заведомо настоящей, скажем, с 1. Если 1 = 7 — фальшивая 8. Если 1 > 7 — фальшивая 7. Заметим, что вариант 1 < 7 невозможен.
Рассмотрим теперь вариант (*) — (1) < (2). Т.е. или 1 или 2 тяжелее, или 6 легче. Тогда третьим шагом взвесим монеты 1 и 2.
Если 1 < 2 — 1-я фальшивая. Если 1 > 2 — 2-я фальшивая. 1 = 2 — 6-я фальшивая.
Пронумеруем монеты от 1 до 12. Разделим на группы по 4 монеты:
(I) 1 2 3 4 (II) 5 6 7 8 (III) 9 10 11 12
Взвесим группы I и II. Возможны три варианта: I < II, I > II, I = II.
Первые два варианта симметричны, о них ниже. В случае третьего варианта получаем, что фальшивая монета находится в группе III. Если так, вторым шагом взвесим монеты 9 и 10. Если, например, 9 < 10 (в случае 9 > 10 рассуждения аналогичны), то или 9 тяжелее, или 10 легче. Третьим шагом взвешиваем одну из них с заведомо настоящей и получаем ответ.
Если же 9 = 10, то фальшивая 11-я или 12-я. Взвесим 11-ю с заведомо настоящей, скажем, с 1-й. Если 1 < 11, то фальшивая 11, тяжелее. Если 1 > 11, то фальшивая 11, легче. Если 1 = 11, то фальшивая 12, легче или тяжелее неизвестно.
Рассмотрим теперь случай, когда при первом взвешивании I-я группа тяжелее II-й (случай II-я тяжелее I-й решается аналогично). В этом случае возможны варианты: а) 1 или 2 или 3 или 4 — тяжелее. б) 5 или 6 или 7 или 8 легче.
Разделим теперь монеты на группы по три монеты следующим образом: (1) две монеты из группы I, одна из группы II. (2) две оставшиеся монеты из группы I, одна из группы II. (3) две оставшиеся монеты из группы II, одна из группы III, заведомо настоящая. В нашем случае группы будут такими:
(1) 1 2 5
(2) 3 4 6
(3) 7 8 9
На втором шаге взвесим группы (1) и (2). Возможны варианты:
(*) (1) < (2). Это означает, что или одна из монет 1 и 2 тяжелее, или монета 6 легче.
(**) (1) > (2). Это означает, что или одна из монет 3 и 4 тяжелее, или монета 5 легче. Заметим, что этот вариант симметричен (*), отдельно рассматриваться не будет.
(1) = (2). Это означает, что монеты с 1 по 6 настоящие, и фальшивая — 7 или 8, причем по результатам первого этапа она легче. В этом случае третьим шагом просто взвесим 7 с заведомо настоящей, скажем, с 1. Если 1 = 7 — фальшивая 8. Если 1 > 7 — фальшивая 7. Заметим, что вариант 1 < 7 невозможен.
Рассмотрим теперь вариант (*) — (1) < (2). Т.е. или 1 или 2 тяжелее, или 6 легче. Тогда третьим шагом взвесим монеты 1 и 2.
Если 1 < 2 — 1-я фальшивая. Если 1 > 2 — 2-я фальшивая. 1 = 2 — 6-я фальшивая.
| ЕЩЕ ОТВЕТЫ |
| ПОХОЖИЕ ВОПРОСЫ |