найдите область сходимости степенного ряда 1+х+(2^2)*(x^2)+...+(n^n)*(x^n)+...

Регистрируйтесь, делитесь ссылками в соцсетях, получайте на WMR кошелек 20% с каждого денежного зачисления пользователей, пришедших на проект по Вашей ссылке. Подробнее
После регистрации Вы также сможете получать до 120 руб за каждую тысячу уникальных поисковых переходов на Ваш вопрос или ответ Подробнее
ОТВЕТЫ
Знаток (425)
Σ(k=0;∞) kkxk = Σ(k=0;∞) (kx)k.

Проверим необходимое условие сходимости. Общий член ряда должен стремиться к нулю. Найдем такие X, при которых это выполняется.
lim (k→∞) (kx)k = 0. Ясно, что это выполняется при x = 0. Пусть x ≠ 0.

lim(b→∞) ab = 0 только при |a| < 1, если а - постоянная. В нашем случае kx < 1. Но так как k стремится к бесконечности, то данное условие выполняется ТОЛЬКО при x = 0. Таким образом, ряд сходится только при x = 0.

Это же можно показать признаком дАламбера:

lim(k→∞) [(k+1)x]k+1/[kx]k = lim(k→∞) [(k+1)/k]k·(k+1)x. По признаку дАламбера, ряд сходится если этот предел меньше единицы. Первый множитель идет к e ≈ 2.71818, а второй к бесконечности при любом x ≠ 0. Поэтому ряд сходится только при x = 0