найдите область сходимости степенного ряда 1+х+(2^2)*(x^2)+...+(n^n)*(x^n)+...

Регистрируйтесь, делитесь ссылками в соцсетях, получайте на WMR кошелек 20% с каждого денежного зачисления пользователей, пришедших на проект по Вашей ссылке. Подробнее
ОТВЕТЫ
Знаток (425)
Σ(k=0;∞) kkxk = Σ(k=0;∞) (kx)k.

Проверим необходимое условие сходимости. Общий член ряда должен стремиться к нулю. Найдем такие X, при которых это выполняется.
lim (k→∞) (kx)k = 0. Ясно, что это выполняется при x = 0. Пусть x ≠ 0.

lim(b→∞) ab = 0 только при |a| < 1, если а - постоянная. В нашем случае kx < 1. Но так как k стремится к бесконечности, то данное условие выполняется ТОЛЬКО при x = 0. Таким образом, ряд сходится только при x = 0.

Это же можно показать признаком дАламбера:

lim(k→∞) [(k+1)x]k+1/[kx]k = lim(k→∞) [(k+1)/k]k·(k+1)x. По признаку дАламбера, ряд сходится если этот предел меньше единицы. Первый множитель идет к e ≈ 2.71818, а второй к бесконечности при любом x ≠ 0. Поэтому ряд сходится только при x = 0