Ряд (-5x)^n/(n+2) (сумма от 1 до бесконечности). Найдите, пожалуйста, интервал сходимости?
Мы платим до 300 руб за каждую тысячу уникальных поисковых переходов на Ваш вопрос или ответ Подробнее
| ЛУЧШИЙ ОТВЕТ (1) |
Вы можете заказать решение контрольной работы
по адресу . Вместо бульдога поставьте @
Для ряда вида Σ(n=0;n=∞)an(x-b)n радиус сходимости вычисляется по формуле:
R=lim(n→∞)|an/an+1|
Причем ряд точно сходится на интервале (b-R;b+R). На концах интервала требуется дополнительное исследование поведения ряда.
В нашем случае будет:
R=lim(n→∞)[5n/(n+2)]·[(n+3)/5n+1] = lim(n→∞)(1/5)·[(n+3)/(n+2)] = 0.2
Таким образом, ряд точно сходится на интервале (-0.2;0.2).
Исследуем поведение ряда на концах интервала.
Пусть, x=-0.2. Тогда наш ряд примет вид Σ(n=1;n=∞)1n/(n+2) = Σ(n=1;n=∞) 1/(n+2) - данный ряд расходится, поскольку является гармоническим рядом без нескольких первых членов.
Пусть, x=0.2. Тогда наш ряд примет вид Σ(n=1;n=∞)(-1)n/(n+2). Этот ряд является знакопеременным. Согласно признаку Лейбница для знакопеременных рядов, ряд сходится в том случае, если его общий член монотонно убывает и стремится к нулю. В нашем случае это так. Поэтому при x=0.2 ряд сходится.
Ответ: Ряд сходится на интервале (-0.2;0.2]
по адресу . Вместо бульдога поставьте @
Для ряда вида Σ(n=0;n=∞)an(x-b)n радиус сходимости вычисляется по формуле:
R=lim(n→∞)|an/an+1|
Причем ряд точно сходится на интервале (b-R;b+R). На концах интервала требуется дополнительное исследование поведения ряда.
В нашем случае будет:
R=lim(n→∞)[5n/(n+2)]·[(n+3)/5n+1] = lim(n→∞)(1/5)·[(n+3)/(n+2)] = 0.2
Таким образом, ряд точно сходится на интервале (-0.2;0.2).
Исследуем поведение ряда на концах интервала.
Пусть, x=-0.2. Тогда наш ряд примет вид Σ(n=1;n=∞)1n/(n+2) = Σ(n=1;n=∞) 1/(n+2) - данный ряд расходится, поскольку является гармоническим рядом без нескольких первых членов.
Пусть, x=0.2. Тогда наш ряд примет вид Σ(n=1;n=∞)(-1)n/(n+2). Этот ряд является знакопеременным. Согласно признаку Лейбница для знакопеременных рядов, ряд сходится в том случае, если его общий член монотонно убывает и стремится к нулю. В нашем случае это так. Поэтому при x=0.2 ряд сходится.
Ответ: Ряд сходится на интервале (-0.2;0.2]
| ПОХОЖИЕ ВОПРОСЫ |