Мораль — это борьба с чужими недостатками, нравственность — со своими?

Совершенно верно! Мораль - правила существующие извне, то, что должно не допустить совершение недопустимого со стороны других. А нравсвтенность - это преобразование морали в свете своего понимания моральных норм - из теории в живую жизнь, в поступки. Нрав=характер! Справиться с ним подчас тяжелее, чем со всем миром)

первое это осознание второго однако

Мораль - это оценочная нагрузка (хорошо-плохо,справедливо-несправедливо),которую несет наше внутреннее саморегулирование.А нравственность - внешнее ,как-то - дружба,товарищество,интимные связи.И то,и другое больше похоже на притирку,чем на борьбу.)