Какая программа совместима с Гугл Хром, чтобы скачивать музыку на компьютер при прослушивании ??

► Free Music Zilla

Настройки ⇒ Monitoring ⇒ Custom ⇒ Browser ⇒ выбрать Program Files ⇒ chrome.exe

Не знаю как хром, а эксплорер все помнит, любая прослушанная музыка остается в кэше.

prog-free.ru/muzred/124-free-sound-recorder-95-programma-dlya-zapisi-zvuka-s-ekrana.html

пробуй

а зачем программа отдельная?
для Хрома есть расширения, которые позволяют это делать
например, вот это попробовать можно