Решили вы уволиться,написали заявление, подписали у начальника, спокойно 2 недели отработали, пришли забрать трудовую, а вам говорят, что заявление ваше куда то делось и надо заново писать...

Как это "куда-то делось" ?
Если я подписала заявление и принесла его в приёмную его должны были зарегистрировать. Если есть регистрация, а заявления нет - это их рабочая халатность и они сами должны выкручиваться, как умеют.
Допустим есть вариант увольнения в течении 24 часов "по соглашению сторон" или "в связи с переездом". Я могу пойти навстречу и переписать заявление в одном из этих вариантов.
Но отрабатывать 2 недели из-за их ошибки я не собираюсь.
А вот если я поленилась сама занести заявление в приёмную, а оставила у начальника , который сказал "Сейчас некогда, потом подпишу", или передала через кого-то, а этот "кто-то" благополучно его потерял или колбасу в него завернул - тогда уже это моя небрежность . В этом варианте я выступаю в роли просителя и либо отрабатываю 2 недели, либо прошу, что б меня рассчитали "в связи с переездом в другой город".

В ОК заявление зарегистрировано или у начальника на столе осталось?
Тогда, уж договаривайтесь .. полюбовно.
Или свидетелей ищите.

Как оно могло куда-то деться? В таком случае я просто подаю иск в суд - и пусть суд там разбирается, куда оно делось. А я иду работать на другое место работы, ибо функция сохранения целости заявления находится целиком и полностью на администрации.

Сталкивался с подобным дурдомом - пообещал обратиться в трудовую инспекцию, заявление сразу нашлось!)

Я когда увольнялась, заявление оформляла в двух экземплярах, и заставляла ОК ставить подпись и дату приёма на каждом экземпляре. Один - себе, и никаких вопросов.

Поэтому подобные вещи нужно писать хотя бы в двух экземплярах - и забирать себе копию, на которой ОК распишется в приёме этого документа.