Как проверить работоспособность компьютера без жёсткого диска? Должен биос работать да?

Можно ваще не грузиться ни с чего. Зайти в биос и там все посмотреть...

если комп старый тогда он ваще не запустится нужен дисковод А(флоппи). И то тогда можно будет работать в режиме командной строки, а ты не знаешь команд.
например как просмотреть содержимое диска А.
dir A/P - пошаговый просмотр директории А.

должен,
можно с флешки запустить (Live дистриб какой нибудь

Берешь флешку с MagOS и запускаешься с неё, проверяешь работоспособность железа.

Через LiveCD. Биос должен работать в любом случае.

Не только... можно с лайва загрузиться.