На улице шел дождь и два студента, один в пальто, другой в институт.. Как такой оборот речи называется ) ?

В стилистике этот приём называется силлепс — стилистическая фигура, когда семантически (то есть по значению) неоднородные элементы ставятся в ряд однородных членов предложения. В статье БСЭ «Силлепс» приводятся следующие примеры:

с синтаксической неоднородностью: «Мы любим славу, да в бокале топить разгульные умы» (А. С. Пушкин, «Дельвигу») — объединены дополнения, выраженные одно существительным, другое — инфинитивом;

с фразеологической неоднородностью: «У кумушки глаза и зубы разгорелись» (И. А. Крылов, «Лисица и виноград») — фразеологизм «глаза разгорелись» и внефразеологическое слово «зубы»;

с семантической неоднородностью: «И звуков и смятенья полн» (А. С. Пушкин, «Поэт») — объединяются душевное состояние и его причина;

для комического эффекта: «Шли дождь и два студента: один в университет, другой в пальто. Они повстречали двух барышень: одна выходила из поезда, другая из себя. Один студент заговорил с барышней, другой с апломбом» (анонимное творчество, опубликовано как пример нарочитых неправильностей речи в 1895 году в «Северном вестнике»).

Иногда этот стилистический прием называют словом "зевгма".

Такой оборот речи называется каламбуром. Каламбур — это фигура речи, которая состоит в юмористическом использовании многозначности слова или звукового сходства различных слов. В приведённом примере «Шёл дождь и два студента» обыгрывается звуковое сходство слов и их многозначность, что создаёт комический эффект

Фраза «шёл дождь и два студента» — пример стилистического приёма оксюморона (или парадоксального сочетания).
Почему это оксюморон?
Оксюморон — это намеренное соединение логически несовместимых, противоречащих друг другу понятий. В данном случае:
«шёл дождь» — природное явление, происходящее само по себе;
«два студента» — конкретные люди, действующие осознанно.
Эти элементы не сочетаются по смыслу: дождь не может «идти» вместе с людьми как равноправный участник действия. Такое соединение создаёт:
комический эффект;
ощущение абсурда;
неожиданную образность.

Да никакой. Это шутки не очень высокого класса с безуспешными потугами на юмор. А на самом деле полная бессмыслица и отсутствие логики. Автор делает абсурдные выводы и связывает несвязанные вещи. Про такое творчество есть русская пословица:"В огороде бузина, в Киеве дядька".
Если говорить на правильном русском языке, то надо было написать так:"На улице шел дождь и были видны два студента. Один из них был одет в пальто, а другой направлялся в институт".