Найти область сходимости степенного ряда

∑[n=0,∞](n+1)x^n/3^n(n+2)
Регистрируйтесь, делитесь ссылками в соцсетях, получайте на WMR кошелек 20% с каждого денежного зачисления пользователей, пришедших на проект по Вашей ссылке. Подробнее
После регистрации Вы также сможете получать до 75 руб за каждую тысячу уникальных поисковых переходов на Ваш вопрос или ответ Подробнее
ЛУЧШИЙ ОТВЕТ
Советник (3696)
Вы можете заказать решение работы
по адресу . Вместо бульдога поставьте @

Σ(n=0;∞)[(n+1)/(n+2)]·(xn/3n)

Для ряда вида Σ(n=0;n=∞)an(x-b)n радиус сходимости вычисляется по формуле:

R=lim(n→∞)|an/an+1|

Причем ряд точно сходится на интервале (b-R;b+R). На концах интервала требуется дополнительное исследование поведения ряда.

В нашем случае будет:

R = lim(n→∞) |[(n+1)/(n+2)]·(1/3n)·3n+1·[(n+3)/(n+2)]| = 3

Поэтому ряд точно сходится на интервале (-3;+3). Исследуем поведение ряда на концах интервала.
x = -3: ряд принимает вид Σ(n=0;∞)[(n+1)/(n+2)]·(-1)n. Данный ряд является знакопеременным. Согласно признаку Лейбница для знакопеременных рядов, ряд сходится тогда и только тогда, когда его общий член, монотонно убывая, стремится к нулю. У нас общий член ряда к нулю не стремится, поэтому при x = -3 ряд расходится.

x = 3: ряд принимает вид Σ(n=0;∞)[(n+1)/(n+2)] - ряд расходится, так как его общий член не стремится к нулю (а это необходимое условие сходимости любых рядов).

Ответ: Ряд сходится при x ∈ (-3;+3)

PS Скобки, все же, надо расставлять, а то поначалу не было ясно - это ряд, рассмотренный выше, или ряд Σ(n=0;∞)(n+1)xn/3n(n+2). Если второе, то такой ряд сходится всюду - в этом можно убедиться приведенными выше действиями - там радиус сходимости равен бесконечности, т.е. ряд сходится всюду. Но я все же думаю, что изначально рассмотрел именно тот ряд, который Вы имели в виду. Удачи :)