Найти область сходимости степенного ряда

∑[n=0,∞](n+1)x^n/3^n(n+2)
Регистрируйтесь, делитесь ссылками в соцсетях, получайте на WMR кошелек 20% с каждого денежного зачисления пользователей, пришедших на проект по Вашей ссылке. Подробнее
ЛУЧШИЙ ОТВЕТ
__
Советник (3696)
Вы можете заказать решение работы
по адресу . Вместо бульдога поставьте @

Σ(n=0;∞)[(n+1)/(n+2)]·(xn/3n)

Для ряда вида Σ(n=0;n=∞)an(x-b)n радиус сходимости вычисляется по формуле:

R=lim(n→∞)|an/an+1|

Причем ряд точно сходится на интервале (b-R;b+R). На концах интервала требуется дополнительное исследование поведения ряда.

В нашем случае будет:

R = lim(n→∞) |[(n+1)/(n+2)]·(1/3n)·3n+1·[(n+3)/(n+2)]| = 3

Поэтому ряд точно сходится на интервале (-3;+3). Исследуем поведение ряда на концах интервала.
x = -3: ряд принимает вид Σ(n=0;∞)[(n+1)/(n+2)]·(-1)n. Данный ряд является знакопеременным. Согласно признаку Лейбница для знакопеременных рядов, ряд сходится тогда и только тогда, когда его общий член, монотонно убывая, стремится к нулю. У нас общий член ряда к нулю не стремится, поэтому при x = -3 ряд расходится.

x = 3: ряд принимает вид Σ(n=0;∞)[(n+1)/(n+2)] - ряд расходится, так как его общий член не стремится к нулю (а это необходимое условие сходимости любых рядов).

Ответ: Ряд сходится при x ∈ (-3;+3)

PS Скобки, все же, надо расставлять, а то поначалу не было ясно - это ряд, рассмотренный выше, или ряд Σ(n=0;∞)(n+1)xn/3n(n+2). Если второе, то такой ряд сходится всюду - в этом можно убедиться приведенными выше действиями - там радиус сходимости равен бесконечности, т.е. ряд сходится всюду. Но я все же думаю, что изначально рассмотрел именно тот ряд, который Вы имели в виду. Удачи :)