(x^2)y''-xy'+y=x/lnx - скажите, пожалуйста, как решить уравнение???

Регистрируйтесь, делитесь ссылками в соцсетях, получайте на WMR кошелек 20% с каждого денежного зачисления пользователей, пришедших на проект по Вашей ссылке. Подробнее
ЛУЧШИЙ ОТВЕТ
__
Советник (3696)
Вы можете заказать решение контрольной работы
по адресу , вместо бульдога поставьте @

x²y''-xy'+y=x/lnx
Замена y=xf:
y'=f+xf'
y''=f'+f'+xf''=2f'+xf''
2x²f'+x³f''-xf-x²f'+xf=x/lnx;
x³f''+x²f'=x/lnx. Замена f'=g:
x³g'+x²g=x/lnx. Поделив на x≠0 получим
x²g'+xg=1/lnx (1)

Сначала решим однородное уравнение.

x²g'+xg=0;
x²(dg/dx)=-xg;
dg/g=-dx/x
ln|g|=-ln|x|+lnC
g=C/x. Теперь решаем неоднородное (1) методом вариации постоянных.
g(x)=C(x)/x;
g'(x) = (C'x-C)/x²
x²g'+xg=(C'x-C) + С = 1/ln(x);
C'=1/[xln(x)]
C(x)=∫dx/[xln(x)] = ∫d(lnx)/lnx = ln(lnx)+C.
g(x) = C(x)/x = ln(lnx)/x + C/x.
Возвращаемся к старым переменным.
f'=ln(lnx)/x + C/x
f(x) = ∫[ln(lnx)/x + C/x]dx = ∫ln(lnx)d(lnx)+C·lnx;

Интеграл ∫ln(s)ds = s·ln(s)-s. Это можно показать, взяв интеграл по частям. Делать это не будем, иначе решение затянется. Итак:
f(x) = (lnx)·ln(lnx)-lnx + C·lnx + C1

Теперь возвращаемся к исходной функции. y=xf:

y(x)=x·(lnx)·ln(lnx) - x·lnx+C1·xlnx+C2·x