Ученик (105)

(x^2)y''-xy'+y=x/lnx - скажите, пожалуйста, как решить уравнение???

Мы платим до 300 руб за каждую тысячу уникальных поисковых переходов на Ваш вопрос или ответ Подробнее
ЛУЧШИЙ ОТВЕТ (1)
Вы можете заказать решение контрольной работы
по адресу , вместо бульдога поставьте @

x²y''-xy'+y=x/lnx
Замена y=xf:
y'=f+xf'
y''=f'+f'+xf''=2f'+xf''
2x²f'+x³f''-xf-x²f'+xf=x/lnx;
x³f''+x²f'=x/lnx. Замена f'=g:
x³g'+x²g=x/lnx. Поделив на x≠0 получим
x²g'+xg=1/lnx (1)

Сначала решим однородное уравнение.

x²g'+xg=0;
x²(dg/dx)=-xg;
dg/g=-dx/x
ln|g|=-ln|x|+lnC
g=C/x. Теперь решаем неоднородное (1) методом вариации постоянных.
g(x)=C(x)/x;
g'(x) = (C'x-C)/x²
x²g'+xg=(C'x-C) + С = 1/ln(x);
C'=1/[xln(x)]
C(x)=∫dx/[xln(x)] = ∫d(lnx)/lnx = ln(lnx)+C.
g(x) = C(x)/x = ln(lnx)/x + C/x.
Возвращаемся к старым переменным.
f'=ln(lnx)/x + C/x
f(x) = ∫[ln(lnx)/x + C/x]dx = ∫ln(lnx)d(lnx)+C·lnx;

Интеграл ∫ln(s)ds = s·ln(s)-s. Это можно показать, взяв интеграл по частям. Делать это не будем, иначе решение затянется. Итак:
f(x) = (lnx)·ln(lnx)-lnx + C·lnx + C1

Теперь возвращаемся к исходной функции. y=xf:

y(x)=x·(lnx)·ln(lnx) - x·lnx+C1·xlnx+C2·x
ПОХОЖИЕ ВОПРОСЫ