(x^2)y''-xy'+y=x/lnx - скажите, пожалуйста, как решить уравнение???

Регистрируйтесь, делитесь ссылками в соцсетях, получайте на WMR кошелек 20% с каждого денежного зачисления пользователей, пришедших на проект по Вашей ссылке. Подробнее
После регистрации Вы также сможете получать до 100 руб за каждую тысячу уникальных поисковых переходов на Ваш вопрос или ответ Подробнее
ЛУЧШИЙ ОТВЕТ
Советник (3681)
Вы можете заказать решение контрольной работы
по адресу , вместо бульдога поставьте @

x²y''-xy'+y=x/lnx
Замена y=xf:
y'=f+xf'
y''=f'+f'+xf''=2f'+xf''
2x²f'+x³f''-xf-x²f'+xf=x/lnx;
x³f''+x²f'=x/lnx. Замена f'=g:
x³g'+x²g=x/lnx. Поделив на x≠0 получим
x²g'+xg=1/lnx (1)

Сначала решим однородное уравнение.

x²g'+xg=0;
x²(dg/dx)=-xg;
dg/g=-dx/x
ln|g|=-ln|x|+lnC
g=C/x. Теперь решаем неоднородное (1) методом вариации постоянных.
g(x)=C(x)/x;
g'(x) = (C'x-C)/x²
x²g'+xg=(C'x-C) + С = 1/ln(x);
C'=1/[xln(x)]
C(x)=∫dx/[xln(x)] = ∫d(lnx)/lnx = ln(lnx)+C.
g(x) = C(x)/x = ln(lnx)/x + C/x.
Возвращаемся к старым переменным.
f'=ln(lnx)/x + C/x
f(x) = ∫[ln(lnx)/x + C/x]dx = ∫ln(lnx)d(lnx)+C·lnx;

Интеграл ∫ln(s)ds = s·ln(s)-s. Это можно показать, взяв интеграл по частям. Делать это не будем, иначе решение затянется. Итак:
f(x) = (lnx)·ln(lnx)-lnx + C·lnx + C1

Теперь возвращаемся к исходной функции. y=xf:

y(x)=x·(lnx)·ln(lnx) - x·lnx+C1·xlnx+C2·x