А бывает ли клей в продаже такой примерно каким приклеивают этикетки к пластиковым бутылкам? Чтобы он лип, но не засыхал. Типа как на двустороннем скотче.

Начнём с того, что к таре этикетку клеят на двух типах самоклейки. Самоклейку "перманент" зубами не отдерёшь, а если и отдерёшь, то оставшийся клей замучаешься смывать.
Невысыхающие клеи есть. Есть так называемый демферный клей и тот, что на фото