операции с бесконечностью + и - .отнимать одну от другой возможно?
что станется.
так как вообще такое реально?
принято же бесконечность есть бесконечность и всё в неё входит,
иначе это уже не бесконечность.
помогите пожалуйста разобраться.
или в математике ввели новые понятия?
так как вообще такое реально?
принято же бесконечность есть бесконечность и всё в неё входит,
иначе это уже не бесконечность.
помогите пожалуйста разобраться.
или в математике ввели новые понятия?
ответ Александра показался основательным и веским. по сути, явно ЛО.
однако последующий смутил стройность системы :-)
и всё же под бесконечностью понимаем чёткий образ бесконечности.
могут ли они разниться по существу?
одна с одним содержанием, другая с другим?
в принципе такое же возможно.
значок к ней приделать?
запутать всю математику :-)
извините ЛО выбрать не могу :-)
в смятении.
однако последующий смутил стройность системы :-)
и всё же под бесконечностью понимаем чёткий образ бесконечности.
могут ли они разниться по существу?
одна с одним содержанием, другая с другим?
в принципе такое же возможно.
значок к ней приделать?
запутать всю математику :-)
извините ЛО выбрать не могу :-)
в смятении.
Дополнен 10 лет назад
Мы платим до 300 руб за каждую тысячу уникальных поисковых переходов на Ваш вопрос или ответ Подробнее
| ЛУЧШИЙ ОТВЕТ ИЗ 5 |
"бесконечность есть бесконечность и всё в неё входит" Существует бесконечное количество разных классов бесконечностей :) Далеко не всякая бесконечность является частью или эквивалентна другой бесконечности.
Классификацию бесконечностей и операции с ними разработал в 19 веке Георг Кантор, это довольно большая и сложная область математики.
По поводу четных и нечетных чисел: еще Галилей заметил, что каждому натуральному числу n можно сопоставить четное число 2*n, значит, имеется взаимно однозначное соответствие между множествами натуральных и четных чисел, то есть четных чисел столько же, сколько и натуральных.
А вот вещественных чисел, как доказал Кантор, больше, там взаимно однозначное соответствие установить невозможно, вещественные числа принципиально нельзя пересчитать, даже с помощью бесконечного множества натуральных чисел :)
Классификацию бесконечностей и операции с ними разработал в 19 веке Георг Кантор, это довольно большая и сложная область математики.
По поводу четных и нечетных чисел: еще Галилей заметил, что каждому натуральному числу n можно сопоставить четное число 2*n, значит, имеется взаимно однозначное соответствие между множествами натуральных и четных чисел, то есть четных чисел столько же, сколько и натуральных.
А вот вещественных чисел, как доказал Кантор, больше, там взаимно однозначное соответствие установить невозможно, вещественные числа принципиально нельзя пересчитать, даже с помощью бесконечного множества натуральных чисел :)
| ЕЩЕ ОТВЕТЫ |
На самом деле, бесконечность - это не число, как, например, один или два. Это некое понятие в математике, которое в школе встречается в обозначении промежутков. Например, промежуток (3; 8] - это все числа от 3 (не включая 3) до 8 (включая 8). А например, промежуток (8; +∞) - это все числа, которые больше 8. Как видно из этого частного случая, справа после тире не стоит слово "бесконечность", тогда как слева оно есть, и это можно использовать в качестве понятия о ней.
Более строго бесконечность вводится в теории пределов. Если, например, x → 8 (икс стремится к восьми), то это значит, что рассматриваются числа, как угодно близкие к 8, т.е. лежащие в интервале (8 - δ; 8 + δ) при достаточно малом δ. А когда говорят, что x → +∞, то это означает, что рассматриваются все положительные числа, далёкие от нуля, т.е. x > δ при достаточно большом δ.
Бесконечность часто входит в некоторые из семи неопределённостей, так же изучаемых в вузе вместе с пределами. Неопределённости бывают такие: 0 / 0, ∞ / ∞, 0 * ∞, ∞ - ∞, 1 ^ ∞, ∞ ^ 0 и 0 ^ 0.
Например, простейшая из неопределённостей 0 / 0 означает фактически, что мы имеем частное двух функций f(x) / g(x). При условии, что x стремится к какому-то числу, в том числе и к бесконечности, как f(x), так и g(x) стремится к 0, тогда как само отношение f(x) / g(x) может стремится к ЧЕМУ УГОДНО! То, к чему оно стремится, зависит от конкретных f(x) и g(x). Вот простой пример: f(x) = kx (k - некоторое число), g(x) = x. Очевидно, что при любом x, отличном от 0, отношение f(x) / g(x) = k. И поэтому оно стремится к k при x → 0. Но в самой точке 0 оно не равно k. Оно равно 0 (на ноль делить нельзя!). Если мы формально подставим 0 вместо x в это отношение, то получим в числителе 0 и в знаменателе 0, но в зависимости от k предел отношения может быть равным чему угодно. Этот факт и называется неопределённостью.
Итак, неопределённость - это ситуация, при которой одна и та же комбинация различных функций, каждая из которых при стремлении аргумента к одному и тому же числу (или бесконечности) стремится к числу, зависящему только от рода неопределённости (одной из семи) и не зависит от самой функции, тогда как сама эта комбинация стремится к различным числам в зависимости от выражений.
В этом смысле неопределённость противопоставлена определённости, когда такая комбинация стремится к числу, не зависящему от конкретных функций, в неё входящих. Так, если известно, что при стремлении х к одному и тому же числу, известно, что f(x) стремится, например, к 5, а g(x) - к 4, то отношение f(x) / g(x) стремится к 5 / 4, независимо от того, что такое f(x) и что такое g(x) (в случае неопределённости, это зависит от f(x) и g(x)).
Итак, к чему это я? К тому, что если отнять бесконечность от бесконечности, получится неопределённость!
Формально, можно работать с бесконечностью, считая её обычным числом, например:
3 + 2 = 5
7 * 4 = 28
0 / 5 = 0
5 / 0 = ∞ (определённость!)
0 / 0 - неопределённость (в программировании часто обозначается как NaN - Not a Number - не число)
∞ + 5 = ∞
∞ - 9 = ∞
∞ * 2 = ∞
∞ / 4 = ∞
∞ + ∞ = ∞
∞ - ∞ = NaN
∞ * ∞ = ∞
∞ / ∞ = NaN
И т.д.
Неопределённость - это такая же абстракция, как и бесконечность, и даже сами числа - это абстракции. Надеюсь, понятно...
Более строго бесконечность вводится в теории пределов. Если, например, x → 8 (икс стремится к восьми), то это значит, что рассматриваются числа, как угодно близкие к 8, т.е. лежащие в интервале (8 - δ; 8 + δ) при достаточно малом δ. А когда говорят, что x → +∞, то это означает, что рассматриваются все положительные числа, далёкие от нуля, т.е. x > δ при достаточно большом δ.
Бесконечность часто входит в некоторые из семи неопределённостей, так же изучаемых в вузе вместе с пределами. Неопределённости бывают такие: 0 / 0, ∞ / ∞, 0 * ∞, ∞ - ∞, 1 ^ ∞, ∞ ^ 0 и 0 ^ 0.
Например, простейшая из неопределённостей 0 / 0 означает фактически, что мы имеем частное двух функций f(x) / g(x). При условии, что x стремится к какому-то числу, в том числе и к бесконечности, как f(x), так и g(x) стремится к 0, тогда как само отношение f(x) / g(x) может стремится к ЧЕМУ УГОДНО! То, к чему оно стремится, зависит от конкретных f(x) и g(x). Вот простой пример: f(x) = kx (k - некоторое число), g(x) = x. Очевидно, что при любом x, отличном от 0, отношение f(x) / g(x) = k. И поэтому оно стремится к k при x → 0. Но в самой точке 0 оно не равно k. Оно равно 0 (на ноль делить нельзя!). Если мы формально подставим 0 вместо x в это отношение, то получим в числителе 0 и в знаменателе 0, но в зависимости от k предел отношения может быть равным чему угодно. Этот факт и называется неопределённостью.
Итак, неопределённость - это ситуация, при которой одна и та же комбинация различных функций, каждая из которых при стремлении аргумента к одному и тому же числу (или бесконечности) стремится к числу, зависящему только от рода неопределённости (одной из семи) и не зависит от самой функции, тогда как сама эта комбинация стремится к различным числам в зависимости от выражений.
В этом смысле неопределённость противопоставлена определённости, когда такая комбинация стремится к числу, не зависящему от конкретных функций, в неё входящих. Так, если известно, что при стремлении х к одному и тому же числу, известно, что f(x) стремится, например, к 5, а g(x) - к 4, то отношение f(x) / g(x) стремится к 5 / 4, независимо от того, что такое f(x) и что такое g(x) (в случае неопределённости, это зависит от f(x) и g(x)).
Итак, к чему это я? К тому, что если отнять бесконечность от бесконечности, получится неопределённость!
Формально, можно работать с бесконечностью, считая её обычным числом, например:
3 + 2 = 5
7 * 4 = 28
0 / 5 = 0
5 / 0 = ∞ (определённость!)
0 / 0 - неопределённость (в программировании часто обозначается как NaN - Not a Number - не число)
∞ + 5 = ∞
∞ - 9 = ∞
∞ * 2 = ∞
∞ / 4 = ∞
∞ + ∞ = ∞
∞ - ∞ = NaN
∞ * ∞ = ∞
∞ / ∞ = NaN
И т.д.
Неопределённость - это такая же абстракция, как и бесконечность, и даже сами числа - это абстракции. Надеюсь, понятно...
Да, с бесконечностями можно выполнять арифметические действия, но результат очень сильно зависит от того, как сформированы эти бесконечности.
Например, множество всех натуральных чисел бесконечно. Также бесконечны и множества всех целых положительных четных и нечетных чисел. Если от множества натуральных чисел отнять множество четных чисел, то получается бесконечное множество нечетных чисел. То есть бесконечность минус бесконечность дает снова бесконечность. Но если от множества натуральных чисел отнять сумму четных чисел и нечетных, то получается ноль. То есть теперь бесконечность минус бесконечность дает уже ноль.
Например, множество всех натуральных чисел бесконечно. Также бесконечны и множества всех целых положительных четных и нечетных чисел. Если от множества натуральных чисел отнять множество четных чисел, то получается бесконечное множество нечетных чисел. То есть бесконечность минус бесконечность дает снова бесконечность. Но если от множества натуральных чисел отнять сумму четных чисел и нечетных, то получается ноль. То есть теперь бесконечность минус бесконечность дает уже ноль.
| ПОХОЖИЕ ВОПРОСЫ |