Помогите, пожалуйста, решить задачу Коши. y'-y*tg(x)=2*sin(x) , y(0)=0,5

Линейное ОДУ 1 порядка. Решается либо методом Лагранжа (решил Анонимус А, правда не то уравнение), либо методом Бернулли (u*v).
y=u*v; y`=u`*v+u*v`
тогда уравнение будет выглядеть так:
u`*v+u*v`- u*v*tg(x)=2*sin(x)
оно распадается на систему:
u`*v=2*sin(x)
v`- v*tg(x)=0
нижнее приводится к виду
dv/v = tg(x)*dx
после интегрирования
ln(v) = -ln(cos(x)) или v = 1/cos(x)
подставляем в первое:
u`/cos(x) = 2*sin(x)
u`= sin(2*x)
u = - cos(2*x)/2 + C
общее решение
y = (C - cos(2*x)/2)/cos(x)
При подстановке н.у. найдем, что С=1
окончательно
y = (1 - cos(2*x)/2)/cos(x)

y' + y·tgx = 2sinx
y(0) = 0.5

Сначала решаем однородное уравнение.
y' + y·tgx = 0
y' = -y·tgx
dy/dx = -y·tgx
dy/y = -tgxdx
dy/y = -sinxdx/cosx
dy/y = d(cosx)/cosx
ln|y| = ln|cosx| + ln|C|
y = C·cosx

Теперь решаем неоднородное. Положим, что C - не константа, а функция. y = C(x)·cosx
y' = C'(x)·cosx - C(x)·sinx
y' + y·tgx = 2sinx; поэтому
C'(x)·cosx - C(x)·sinx + C(x)·cosx · (sinx/cosx) = 2sinx
C'(x)·cosx = 2sinx
C'(x) = 2sinx/cosx
C(x) = ∫2sinxdx/cosx = -2∫d(cosx)/cosx = -2ln|cosx| + C

Итого получаем y = C·cosx - 2cosx·ln|cosx|

Проверим.
y' = -C·sinx + 2sinx·ln|cosx| + 2cosx·sinx/cosx
y' + ysinx/cosx = -C·sinx + 2sinx·ln|cosx| + 2sinx + C·sinx - 2·sinx·ln|cosx| = 2sinx

Уравнение решено верно.

Теперь решаем собственно задачу Коши, т.е. находим нужный коэффициент C под наши условия. Это сами, простая арифметика.