Помогите, пожалуйста, решить задачу Коши. y'-y*tg(x)=2*sin(x) , y(0)=0,5

Никак не могу решить этот пример..
Регистрируйтесь, делитесь ссылками в соцсетях, получайте на WMR кошелек 20% с каждого денежного зачисления пользователей, пришедших на проект по Вашей ссылке. Подробнее
После регистрации Вы также сможете получать до 175 руб за каждую тысячу уникальных поисковых переходов на Ваш вопрос или ответ Подробнее
ЛУЧШИЙ ОТВЕТ
Линейное ОДУ 1 порядка. Решается либо методом Лагранжа (решил Анонимус А, правда не то уравнение), либо методом Бернулли (u*v).
y=u*v; y`=u`*v+u*v`
тогда уравнение будет выглядеть так:
u`*v+u*v`- u*v*tg(x)=2*sin(x)
оно распадается на систему:
u`*v=2*sin(x)
v`- v*tg(x)=0
нижнее приводится к виду
dv/v = tg(x)*dx
после интегрирования
ln(v) = -ln(cos(x)) или v = 1/cos(x)
подставляем в первое:
u`/cos(x) = 2*sin(x)
u`= sin(2*x)
u = - cos(2*x)/2 + C
общее решение
y = (C - cos(2*x)/2)/cos(x)
При подстановке н.у. найдем, что С=1
окончательно
y = (1 - cos(2*x)/2)/cos(x)
ЕЩЕ ОТВЕТЫ
Знаток (425)
y' + y·tgx = 2sinx
y(0) = 0.5

Сначала решаем однородное уравнение.
y' + y·tgx = 0
y' = -y·tgx
dy/dx = -y·tgx
dy/y = -tgxdx
dy/y = -sinxdx/cosx
dy/y = d(cosx)/cosx
ln|y| = ln|cosx| + ln|C|
y = C·cosx

Теперь решаем неоднородное. Положим, что C - не константа, а функция. y = C(x)·cosx
y' = C'(x)·cosx - C(x)·sinx
y' + y·tgx = 2sinx; поэтому
C'(x)·cosx - C(x)·sinx + C(x)·cosx · (sinx/cosx) = 2sinx
C'(x)·cosx = 2sinx
C'(x) = 2sinx/cosx
C(x) = ∫2sinxdx/cosx = -2∫d(cosx)/cosx = -2ln|cosx| + C

Итого получаем y = C·cosx - 2cosx·ln|cosx|

Проверим.
y' = -C·sinx + 2sinx·ln|cosx| + 2cosx·sinx/cosx
y' + ysinx/cosx = -C·sinx + 2sinx·ln|cosx| + 2sinx + C·sinx - 2·sinx·ln|cosx| = 2sinx

Уравнение решено верно.

Теперь решаем собственно задачу Коши, т.е. находим нужный коэффициент C под наши условия. Это сами, простая арифметика.