Может, кто знает, почему в лисе невозможно авторизоваться на этом сайте, а в другом браузере можно ?

Как будто просто переустановка тебе как то поможет ведь твой профиль то всё равно тот же останется. Просто удали профиль Firefox и создай новый. Никаких проблем быть не должно. Сам лично часто сюда захожу с огнелиса и всё нормально. Менеджер профилей запускается примерно так: firefox -ProfileManager. Ну, то есть понятно, что нажать две клавиши Win и R (Win это такой значек Windows слева внизу на клаве). В появившуюся рамку "Выполнить" вписать полный путь до Firefox.exe, через пробел флаг -ProfileManager и нажать клавишу Enter для ввода. Например: C:\Program Files\Firefox\Firefox.exe -ProfileManager

Какие именно там расширения могут быть виноваты не разобраться, ты даже не написала какие есть у тебя вообще. Я честно не могу знать про все расширения Firefox и какие там могут проблемы вызывать с авторизацией на этом сайте. Нет расширений - нет проблем. Ну, если дело именно в них.

Возможно, запрещены куки.

возможно я в ней сейчас

Сейчас не знаю, как дела обстоят с регистрацией, а раньше я именно с мозиллы регистрировалась, потому что работаю уже много лет только в ней. Второй аккаунт для проверки Вашей проблемы неохота заводить. На каком этапе спотыкается?