Как найти полный дифференциал функции

z=x*y/(x+y^2 ), если x1=1 y1=1,1 и x2=2 y2=1,8
Регистрируйтесь, делитесь ссылками в соцсетях, получайте на WMR кошелек 20% с каждого денежного зачисления пользователей, пришедших на проект по Вашей ссылке. Подробнее
После регистрации Вы также сможете получать до 175 руб за каждую тысячу уникальных поисковых переходов на Ваш вопрос или ответ Подробнее
ЛУЧШИЙ ОТВЕТ
Знаток (415)
Полный дифференциал функции - это следующее выражение dz = (∂f/∂x)*dx + (∂f/∂y)*dy, где dx и dy - дифференциалы переменных х и у (обычно под ними подразумеваются приращения соответствующих переменных), но для записи их оставляют в неизменном виде).
Если предполодить, что в знаменателе дроби в квадрат возводится только у, то частные производные функции z(x,y) будут иметь следующий вид:

∂f/∂x = (y*(x + y^2) - xy*1) / (x + y^2)^2 = (xy + y^3 - xy) / (x + y^2)^2 = y^3 / (x + y^2)^2

∂f/∂y = (x*(x + y^2) - xy*2y) / (x + y^2)^2 = (x^2 + xy^2 - 2xy^2) / (x + y^2)^2 = (x^2 - xy^2) / (x + y^2)^2 =
= x*(x - y^2) / (x + y^2)^2

Общий вид полного дифференциала будет выглядеть так:

dz = (y^3 / (x + y^2)^2) * dx + (x*(x - y^2) / (x + y^2)^2) * dy

Для вычисления полного дифференциала в конкретных точках (х1; у1) и (х2; у2), следует подставить координаты этих точек в это выражение вместо х и у и найти соответствующие выражения. Но можно поступить проще - найти только частные производные в этих точках:

∂f/∂x (1; 1,1) = 1,1^3 / (1 + 1,1^2)^2 = 1,331 / (1 + 1,21)^2 = 1,331 / 2,21^2 = 1,331 / 4,8841 = 0,2725
∂f/∂y (1; 1,1) = 1*(1 - 1,1^2) / (1 + 1,1^2)^2 = (1 - 1,21) / 4,8841 = -0,21 / 4,8841 = -0,043

∂f/∂x (2; 1,8) = 1,8^3 / (2 + 1,8^2)^2 = 5,832 / (2 + 3,24)^2 = 5,832 / 5,24^2 = 5,832 / 27,4576 = 0,2124
∂f/∂y (2; 1,8) = (2*(2 - 1,8^2) / (2 + 1,8^2)^2 = 2*(2 - 3,24) / 27,4576 = 2*(-1,24) / 27,4576 = -2,48 * 27,4576 = -0,0903

Тогда выражения для полного дифференциала будут иметь вид:

dz(1; 1,1) = 0,2725dx - 0,043dy
dz(2; 1,8) = 0,2124dx - 0,0903dy

Непонятно, почему в вузах требуют решения столь трудоёмких механических задач.
Скорее всего, задание должно звучать так: найти приближённое значение функции z(x,y) в точках (х1; у1) и (х2; у2).
В этом случае задача решается проще и приятнее: ищутся полные дифференциалы функции в точках, близких к заданному.


Например, близкой к первой точке является точка (1; 1).
Частные производные в ней будут иметь вид:
∂f/∂x (1;1) = 1^3 / (1 + 1^2)^2 = 1 / 2^2 = 1 / 4 = 0,25
∂f/∂y (1;1) = 1*(1 - 1^2) / (1 + 1^2)^2 = 1*0 / (1 + 1^2)^2 = 0

Тогда

dz (1;1) = 0,25dx

Вместо dx подставляем приращение ∆х = 1 - 1 = 0, т.е. dz (1;1) = 0

Приближённое значение функции z(x,y) в точке (x1, y1) отыскивается по формуле:
z(x1, y1) = z(x0, y0) + dz(x0, y0),
где (x0; y0) - точка, близкая к точке (х1; у1), dx = x1 - x0; dy = y1 - y0
Т.е. z(x1; y1) ≈ z(x0; y0) = z(1; 1) = 1*1 / (1 + 1^2) = 1/2 = 0,5.

Близкой к точке (2; 1,8) является точка (2; 2).
Частные производные в ней будут иметь вид:
∂f/∂x (2;2) = 2^3 / (2 + 2^2)^2 = 8 / 6^2 = 8 / 36 = 2 / 9
∂f/∂y (2;2) = 2*(2 - 2^2) / (2 + 2^2)^2 = 2*(-2) / 36 = -4 / 36 = -1 / 9

Тогда

dz (2;2) = (2 / 9)dx - (1 / 9)dy

Вместо dx и dy подставляем приращение ∆х = 2 - 2 = 0, ∆y = 2 - 1,8 = 0,2,
Т.е. dz = -0,2/9 = -2/90 = -1/45

z(2 ; 2) = 2*2 / (2 + 2^2) = 4/6 = 2/3
z(x2; y2) ≈ z(2; 2) - 2/90 = 2/3 - 1/45 = 30/45 - 1/45 = 29/45