!
Знаток (387)

Кто-нибудь может объяснить, как решать дифуравнения с разделяющимися переменными?

Желательны примеры. Весьма желательны... Спасибо.
Регистрируйтесь, делитесь ссылками в соцсетях, получайте на WMR кошелек 20% с каждого денежного зачисления пользователей, пришедших на проект по Вашей ссылке. Подробнее
После регистрации Вы также сможете получать до 150 руб за каждую тысячу уникальных поисковых переходов на Ваш вопрос или ответ Подробнее
ОТВЕТЫ
Советник (3682)
Основная проблема при решении таких уравнений - сделать так, чтобы переменная y (функция) находилась в одной части равенства, а переменная x (аргумент) - в другой его части. Т.е. надо привести уравнение к виду f(y)dy = g(x)dx. Все. После этого решение элементарно: ∫f(y)dy = ∫g(x)dx - больше ничего делать не надо. Когда возьмете интегралы от обоих частей - оставьте равенство в покое. Решение уже получено в этом случае.

Что касается примеров, даю простейший.
xdy = ydx
Как решать? Данное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными. Делим на x:
dy = (y/x)dx, или, что то же,
dy = y·(dx/x). Теперь делим на y, чтобы все с Y было слева, все с X - справа.
dy/y = dx/x.
После этого можно интегрировать. Имеем:
∫dy/y = ∫dx/x;
ln|y| = ln|x| + ln|C|, откуда
ln|y| = ln|Cx|
y = Cx. Для пущей убедительности произведем проверку.
y' = C. Так как y'=dy/dx, имеем:
dy/dx = C = y/x. Отсюда можно получить исходное уравнение: xdy = ydx. Следовательно, решение верное.

Вы также можете заказать решение контрольной работы по адресу