!
Знаток (387)

Кто-нибудь может объяснить, как решать дифуравнения с разделяющимися переменными?

Желательны примеры. Весьма желательны... Спасибо.
Регистрируйтесь, делитесь ссылками в соцсетях, получайте на WMR кошелек 20% с каждого денежного зачисления пользователей, пришедших на проект по Вашей ссылке. Подробнее
ОТВЕТЫ
__
Советник (3696)
Основная проблема при решении таких уравнений - сделать так, чтобы переменная y (функция) находилась в одной части равенства, а переменная x (аргумент) - в другой его части. Т.е. надо привести уравнение к виду f(y)dy = g(x)dx. Все. После этого решение элементарно: ∫f(y)dy = ∫g(x)dx - больше ничего делать не надо. Когда возьмете интегралы от обоих частей - оставьте равенство в покое. Решение уже получено в этом случае.

Что касается примеров, даю простейший.
xdy = ydx
Как решать? Данное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными. Делим на x:
dy = (y/x)dx, или, что то же,
dy = y·(dx/x). Теперь делим на y, чтобы все с Y было слева, все с X - справа.
dy/y = dx/x.
После этого можно интегрировать. Имеем:
∫dy/y = ∫dx/x;
ln|y| = ln|x| + ln|C|, откуда
ln|y| = ln|Cx|
y = Cx. Для пущей убедительности произведем проверку.
y' = C. Так как y'=dy/dx, имеем:
dy/dx = C = y/x. Отсюда можно получить исходное уравнение: xdy = ydx. Следовательно, решение верное.

Вы также можете заказать решение контрольной работы по адресу