как найти ур-ие плоскости по 2 точкам и II вектору?
даны 2 точки А(1;-1;0) и В(2;0;1) и вектор а II плоскости с координатами (2;1;1)
Мы платим до 300 руб за каждую тысячу уникальных поисковых переходов на Ваш вопрос или ответ Подробнее
| ЛУЧШИЙ ОТВЕТ (1) |
Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку М0 (x0, y0, z0) и параллельную двум неколлинеарным векторам a (ax, ay, az) и b (bx, by, bz) записывается так:
Определитель
x - x0 ax bx
y - y0 ay by
z - z0 az bz
Равен нулю.
Коллинеарные векторы - это векторы, параллельные плоскости. Один из них уже известен. В качестве второго можно взять вектор, проходящий через две заданные точки, а в качестве точки, через которую проходит искомая плоскость - любую из этих точек.
Например, второй из коллинеарных векторов - это вектор АВ. Его координаты (2 -1; 0 - (-1); 1 - 0) = (1; 1; 1). В качестве точки М0 проще выбрать точку М2, т.е. имеем уравнение
Определитель
х - 2 2 1
y - 0 1 1
z - 1 1 1
Равен нулю.
Раскрывая этот определитель по определению, получаем:
(x - 2) * (1*1 - 1*1) - 2 * ((y - 0)*1 - (z - 1)*1) + 1 * ((y - 0)*1 - (z - 1)*1) = 0
-2(y - z + 1) + (y -z + 1) = 0
- (y - z + 1) = 0
Умножая уравнение на (-1), получаем
y - z + 1 = 0
Это и есть уравнение искомой плоскости
Проверкой убеждаемся, что координаты точек М1 и М2 удовлетворяют этому уравнению, а нормальный вектор этой плоскости (0; 1; -1) ортогонален данному коллинеарному вектору (2; 1; 1): скалярное произведение этих векторов равно нулю.
Определитель
x - x0 ax bx
y - y0 ay by
z - z0 az bz
Равен нулю.
Коллинеарные векторы - это векторы, параллельные плоскости. Один из них уже известен. В качестве второго можно взять вектор, проходящий через две заданные точки, а в качестве точки, через которую проходит искомая плоскость - любую из этих точек.
Например, второй из коллинеарных векторов - это вектор АВ. Его координаты (2 -1; 0 - (-1); 1 - 0) = (1; 1; 1). В качестве точки М0 проще выбрать точку М2, т.е. имеем уравнение
Определитель
х - 2 2 1
y - 0 1 1
z - 1 1 1
Равен нулю.
Раскрывая этот определитель по определению, получаем:
(x - 2) * (1*1 - 1*1) - 2 * ((y - 0)*1 - (z - 1)*1) + 1 * ((y - 0)*1 - (z - 1)*1) = 0
-2(y - z + 1) + (y -z + 1) = 0
- (y - z + 1) = 0
Умножая уравнение на (-1), получаем
y - z + 1 = 0
Это и есть уравнение искомой плоскости
Проверкой убеждаемся, что координаты точек М1 и М2 удовлетворяют этому уравнению, а нормальный вектор этой плоскости (0; 1; -1) ортогонален данному коллинеарному вектору (2; 1; 1): скалярное произведение этих векторов равно нулю.
| ПОХОЖИЕ ВОПРОСЫ |