как найти координаты точки пересечения прямой и плоскости ?
Плоскость задана параметрически, прямая также задана параметрически.
Мы платим до 300 руб за каждую тысячу уникальных поисковых переходов на Ваш вопрос или ответ Подробнее
| ЛУЧШИЙ ОТВЕТ (1) |
Параметрическое уравнение плоскости используется редко. Речь идёт скорее всего о таком уравнении:
x = x0 + α1u + α2v
y = y0 + β1u + β2v
z = z0 + γ1u + γ2v,
где x0, y0, z0 - координаты точки, через которую проходит плоскость,
α1, α2, β1, β2, γ1, γ2 - постоянные коэффициенты (числа),
u, v - параметры.
Прямая же задаётся привычными уравнениями
x = x1 + at
y = y1 + bt
z = z1 + ct
В таком случае для нахождения общей точки пересечения прямой и плоскости следует, очевидно, приравнять выражения для соответствующих координат прямой и плоскости. Получится система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными - парамертрами u, v и t:
α1u + α2v - at + x0 - x1 = 0
β1u + β2v - bt + y0 - y1 = 0
γ1u + γ2v - ct + z0 - z1 = 0
Решается эта система как и обычная система линейных уравнений, например, методом Гаусса. Проще всего её решить, если вместо коэффициентов α1, α2, a, β1, β2, b, γ1, γ2, c стоят конкретные числа. Такая система, как известно, может не иметь решений (в этом случае прямая и плоскость не имеют общих точек - прямая параллельна плоскости), иметь бесконечное множество решений (тогда прямая лежит в плоскости) или иметь ровно одно решение (u0, v0, t0) - прямая в этом случае пересекает плоскость ровно в одной точке. Чтобы найти координаты этой точки, можно либо подставить значения параметров u0 и v0 вместо u и v соответственно в параметрические уравнения плоскости, либо значение t0 подставить вместо t в уравнения прямой. Найденные три числа и будут координатами точки пересечения плоскости и прямой. Разумеется, вторым способом действовать проще.
x = x0 + α1u + α2v
y = y0 + β1u + β2v
z = z0 + γ1u + γ2v,
где x0, y0, z0 - координаты точки, через которую проходит плоскость,
α1, α2, β1, β2, γ1, γ2 - постоянные коэффициенты (числа),
u, v - параметры.
Прямая же задаётся привычными уравнениями
x = x1 + at
y = y1 + bt
z = z1 + ct
В таком случае для нахождения общей точки пересечения прямой и плоскости следует, очевидно, приравнять выражения для соответствующих координат прямой и плоскости. Получится система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными - парамертрами u, v и t:
α1u + α2v - at + x0 - x1 = 0
β1u + β2v - bt + y0 - y1 = 0
γ1u + γ2v - ct + z0 - z1 = 0
Решается эта система как и обычная система линейных уравнений, например, методом Гаусса. Проще всего её решить, если вместо коэффициентов α1, α2, a, β1, β2, b, γ1, γ2, c стоят конкретные числа. Такая система, как известно, может не иметь решений (в этом случае прямая и плоскость не имеют общих точек - прямая параллельна плоскости), иметь бесконечное множество решений (тогда прямая лежит в плоскости) или иметь ровно одно решение (u0, v0, t0) - прямая в этом случае пересекает плоскость ровно в одной точке. Чтобы найти координаты этой точки, можно либо подставить значения параметров u0 и v0 вместо u и v соответственно в параметрические уравнения плоскости, либо значение t0 подставить вместо t в уравнения прямой. Найденные три числа и будут координатами точки пересечения плоскости и прямой. Разумеется, вторым способом действовать проще.
| ПОХОЖИЕ ВОПРОСЫ |